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Je n’ose écrire la sublimation.
Je lis des choses que je ne comprends pas. Je les relis, encore, presque à vouloir hypnotiser les signes sur le papier ou l’écran. À force, je sais que des barrières mentales vont céder, et je crois, bien qu’il s’agisse de mathématiques, qu’il est plus question d’intégration que de compréhension. Pas de grand éclair, pas d’eureka soudain, enfin peut-être mais ce n’est pas obligatoire, c’est bien la subjectivation de la connaissance. Beaucoup de latences sont parfois nécéssaires, admettre qu’il faut laisser les concepts évoluer et faire leur chemin seul, sans être consciemment focalisée dessus. Mais ne pas oublier non plus de reprendre régulièrement le chemin des signes, les faire jouer, voir si la route est enfin ouverte, sinon, forcer un peu pour aller un peu plus loin, la route risque de se perdre sans cela. Ce qui hier me semblait totalement étranger, alienisant, éventuellement contre-intuitif, réussit à former un système cohérent et au final tellement intégré que toute cette période transitoire où je me trouvais vaseuse, mal-à-l’aise dans un brouillard conceptuel, elle-même s’évapore. Belle tentation d’oublier cette confusion dérangeante, pourtant est-ce l’occasion de piocher dans ce souvenir-là un salut possible version perdons-nous connaissance ?
Je sais aussi que l’étape suivante serait de se préparer pour le transmettre, même si j’ai peu de chance de mettre en pratique cet enseignement-là un jour.

En attendant, je n’ai pas arrangé l’état de mon audition à la Bascule hier soir, au concert à l’électricité sérieusement enlevée de Napalm Jazz, ainsi que des légendaires Gendarmerie.

J’ai la chance d’aider - pour ce qui est de la terminologie et usages mathématiques français - le traducteur de “Everything & more, a compact history of ∞” de David Foster Wallace. Ça me permet la primeur d’un texte vraiment drôle et érudit qui donne des lettres de noblesse rock’n'roll et sexy à l’histoire du concept d’infini en mathématiques. C’est plein de passion et tout-à-fait accessible aux non-matheux, les parties techniques sont soigneusement balisées d’un “Si vous êtes intéressé”. Ceci étant, il arrive parfois que le soucis de vulgarisation desserve, à mon sens, la clarté du propos. C’est l’un de ces points que je voudrais reprendre ici, sans vouloir effrayer quiconque, quelque chose de très très résumé, juste pour mon bien-être spirituel.
Zénon d’Élée (Ve siècle av. J.-C) est un antique trouble-fête grec qui osa aborder de front la question de l’infini tandis que ses contemporains (et leurs descendants) avaient remisé l’idée au rayon néfaste pour la santé mentale.
Parmi les paradoxes de Zénon, prenons celui de la dichotomie : une pierre lancée sur un arbre doit parcourir, avant d’atteindre sa cible, la moitié du chemin qui les sépare, puis encore la moitié de la distance restante, puis la moitié de ce qui reste, etc. Elle doit donc occuper une infinité de positions avant d’atteindre l’arbre, chaque étape se faisant en un temps non nul. Puisqu’on peut toujours diviser le parcours restant en deux moitiés dont la première prend toujours un peu de temps à parcourir, avant de reconsidérer le problème et de recommencer le raisonnement précedent, la pierre ne peut jamais arriver jusqu’à l’arbre. On voit à merveille ici l’intrication de l’infini et du continu, je me souviens encore du délicieux frisson ressenti lorsqu’on m’a enseigné cela : la continuité offrait un espace à toutes les galipettes imaginables.
Entre lui et Cantor (le héraut de l’infini), 23 siècles d’histoire mathématique qui évitent plus ou moins d’aborder le concept, permettant malgré tout, de creuser, petit à petit, une voie à l’intuition. 2300 ans en quète de rigueur aussi, et c’est Bolzano puis Weierstrass, qui, dans l’élan mathématique de leur époque (le 19^ème donc), ont donné des définitions sans biais des limites et de la continuité. Wallace utilise la continuité d’une manière pas forcément évidente pour aborder le paradoxe de Zénon, je trouve plus simple de rephraser cela en terme de limite d’une suite infinie, avec la définition rigoureuse (ce qu’il -DFW- n’a pas fait apparemment pour se démarquer des démonstrations approximatives) . La définition “ε, δ” qui est alors “ε, N” de la limite d’une suite infinie c’est la suivante : une suite u_n tend vers une limite l quand n tend vers l’infini, si pour tout écart de tolérance ε, il existe un rang fini N à partir duquel, pour tout n>N, u_n est proche de l à ε près.

Reprenons notre pierre et lançons-la contre un arbre. L’expérience nous montre qu’elle met un certain temps pour réaliser son trajet que pour simplifier nous prendrons égal à 1 et confrontons ceci au raisonnement de Zénon. Nous supposons alors qu’elle parcourt la moitié de la distance à l’arbre en un temps égal à 1/2 , le quart suivant en 1/4 puis le huitième ensuite en 1/8 etc. au bout de n itérations, il lui faut 1/2ⁿ supplémentaire pour effectuer son petit bout de chemin, son trajet a alors duré (1/2 + 1/4 + 1/8 ….+ 1/2ⁿ) sachant que la distance restant jusqu’à l’arbre correspond à un trajet de 1/2ⁿ exactement.
Pour prouver qu’on va bien parvenir à la cible malgré la dichotomie, il faut montrer qu’au final l’addition indéfinie de tous ces petits temps tend vers la valeur de 1. On considère la suite des sommes partielles S_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2ⁿ (donc S_n+1 = S_n + 1/2ⁿ⁺¹ ) et on veut montrer que lorsque n tend vers l’infini, la valeur de S_n tend vers 1. Telle qu’on a construit la suite S_n, on voit bien que S_n + 1/2ⁿ = 1 puisqu’on lui rajoute justement la dernière moitié que l’on s’apprêterait à couper en deux à l’itération suivante. Donc montrer que S_n tend vers 1 est équivalent à montrer que (1-1/2ⁿ) tend vers 1 aussi, soit simplement que 1/2ⁿ tend vers 0. Ce qui est immédiat avec un tout petit peu d’arithmétique : si l’on veut 1/2ⁿ < ε, ε étant voué à devenir aussi petit que nécéssaire, on a : 1/ε < 2ⁿ, on passe aux logarithmes on obtient une condition sur n : n > ln(1/ε) / ln(2). Par exemple avec ε = 0.0001, on a n > 13, c’est à dire que pour n > N = 13, S_n est proche au dix-millième de 1. On aura beau rajouter une infinité de petits termes 1/2¹⁴ + 1/2¹⁵ + … etc., tout ce que l’on fera c’est de se rapprocher encore et encore de 1 ; les sommes partielles en constituant une approximation que l’on peut toujours ajuster (via N) de manière arbitrairement précise (ε), la somme totale (série) — donc pour l’indice n décrivant l’ensemble (infini) des entiers naturels — valant 1 exactement.
C’est beau, non ?
Bon si vous n’avez rien suivi, pas de panique, il faut quand même à Wallace presque 200 pages pour arriver là.

(vagues d’ego vagues réminiscences décousues name dropping substance dripping)
Hasards toujours, convergences j’espère, je relis des maths. Oh de la vulgarisation, rien de plus. Ceci menant à cela, je lis enfin le fameux Gödel, Escher, Bach (GEB) sur lequel, depuis les 10 ans qu’il siégeait quelque part dans ma bibliothèque, je m’étais à plusieurs reprises endormie. D’ailleurs, quasi 10 ans que j’ai quitté ce monde-là.
Et voilà l’impression d’être à la maison, aussi de mesurer un peu tous les efforts que j’ai faits depuis, n’étant plus dans ce monde-là pour m’intégrer à un autre, pragmatique, social … parfois tentations de capituler … ce qui n’est possible à aucun niveau de toute façon.
Pour rattraper Gödel, j’ai pris Logicomix, qui bédéïse l’histoire des logiciens autour de Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein. Russell (relativement succinte bio wikipedia français ) est un type énorme, incroyable, mathématicien, philosophe, prix nobel, militant pacifiste, défenseur de l’amour libre ; ce que je ne comprends pas, c’est pourquoi on ne le connait pas plus en France (contrairement à Wittgentstein ). J’ai d’ailleurs appris qu’il avait crée en 1927 avec sa femme de l’époque, Dora, une école qui reposait sur un principe de liberté afin d’encourager naturellement maturité et auto-discipline. (dans la bédé, cette expérience est présentée comme un échec, peut-être plus dû aux personnalités des Russells).
À la fois étrange et intéressant parti-pris de Logicomix, d’aborder les logiciens sous l’angle de la folie. Vieux démons que j’ai fuis. J’ai toujours pas mal fui toutes les maths discrètes en fait, ainsi que la logique. Ça m’énervait. Je trouvais ça à la fois vain et essentiel et tellement essentiel que ça me faisait peur — tandis que la continuité était tellement délicieuse — .
Dans le GEB, il y a ce passage (ouverture chap. 4) qui résume bien ce qui avait fini par être pour moi une application directe de cet effroi : (traduction à l’arrache by cibi, mon exemplaire is in English)

(au chapitre II), nous avons vu comment le sens — du moins dans le contexte relativement simple des systèmes formels — naît lorsqu’il y a un isomorphisme (*cb: grosso modo correspondance un à un*) entre des symboles régis par des règles et les choses du monde réel. Plus cet isomorphisme est complexe, plus nous aurons généralement besoin d’équipement — hardware et software — pour extraire des symboles, du sens. Si un isomorphisme est très simple (ou très familier), nous pouvons être tentés de dire que le sens de ce qu’il nous permet de voir est explicite. Nous voyons le sens sans voir l’isomorphisme. L’exemple le plus flagrant de ceci est le langage humain, où les gens attribuent du sens aux mots en eux-mêmes sans avoir la moindre conscience du très complexe “isomorphisme” qui le leur insuffle. C’est une erreur très facile à commettre : attribuer tout le sens à un objet (le mot) plutôt qu’au lien entre les objets et le monde réel.

Je ne parle pas de problème de communication dans le couple. Je parle de réussir à acheter son pain. Alors un jour, je me suis souvenue de ce Wittgenstein dont j’avais de très loin entendu parler. Un mathématicien philosophe qui se serait intéressé aux fondements du langage ? mais vite, vite, une réponse, il détient certainement une réponse ! De la certitude, c’était tellement exactement mon besoin, de la certitude du monde en dehors de ma tête, après le bord de mes lèvres qui articulaient les mots avec tant de peine. J’ai très rapidement compris qu’il valait mieux pour ma santé mentale que j’enfouisse ce bouquin quelque part très loin.
Enfin, peut-être par nécéssité, vint l’habitude du saut. Le saut des mots hors de la bouche, un léger vertige parce que l’on sait que la certitude n’est rien de plus qu’une croyance, un mythe, une superstition, j’ai appris à profiter du vertige, même parfois à m’en enivrer sans faire attention et à accepter cela.

(photo jd clic pour la voir en grand)
Dans les choses lues récemment, j’ai aussi accroché à une citation de David Foster Wallace dans Everything and More, a compact history of Infinity comparant les équtions différentielles à du calcul intégral sous hallucinogène de classe 4. Ouais, d’ailleurs c’était mon truc ça plutôt. Réciproquement, Wittgenstein aurait pris des drogues psychedeliques qu’il n’aurait pas été si triste dans la vie. Moi j’ai peut-être maintenant suffisament d’ancrages dans la mienne pour le lire. Wallace parle aussi du personnage de mathématicien fou comme figure récurrente de la pop culture. C’est vrai, et le romantisme avec lequel c’est souvent montré m’horripile, la folie ça n’a rien de glamour. J’avais bien aimé le Pi de Darren Aronofsky pour avoir évité cela justement.

De l’hypothèse du continu(um) au concept du continuum… c’est le drame, le miracle, l’intense frustration et l’incommensurable joie de mes 10 dernières années.

Il y a peu, j’ai élucidé la traduction d’un terme que j’employais depuis longtemps presqu’exclusivement en VO : pattern. J’hésitais parfois : structure, dessin, mais le plus souvent je ne prenais même pas la peine de traduire, tant pattern en soi portait un sens bien plus fin que l’un et l’autre. J’ai fini par regarder dans le dictionnaire, j’ai trouvé motif. Et c’est parfait motif.

J’avais rencontré pattern pour nommer ces choses si spécifiques ( voir par exemple pattern formation / self-organisation sur scholarpedia ), entre ordre et hasard, issus de la turbulence ou du chaos, structure sous-jascente à découvrir, émerveillée. Tout cela est tellement loin, je n’ai plus désormais qu’à en saisir les apparitions dans la vie réele.
Plus haut à gauche, l’empreinte du courant de marées dans le sable d’un havre. C’est l’équation de Navier Stokes qui modélise cela.
A droite, une algue qui s’étend sur une autre, ou les ailes du papillon (photo de l’homme (pff), clic pour voir en grand, ça en vaut la peine ). Ce sont des équations de réaction diffusion qui modélisent ces graphismes.
Quelques lignes de symboles mathématiques, une infinité de motifs contenus dedans.
C’est quelque chose de tout à fait transcendant, je veux dire par là que si je voulais évoquer l’idée du divin, c’est peut-être une des métaphores que j’emploierais pour l’illustrer ; pas tant pour le coté auto-organisation que plus globalement l’abstraction mathématique qui contient l’infinité des réalités. (ou une infinité d’approximations)
Allez, peut-être profiter de la rentrée pour refaire des maths.