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Je ne sais pas depuis combien de générations on torture des étudiants qui n’ont grosso modo qu’un besoin très appliqué avec la définition des probabilités sur univers et tribus. Pour ma part, j’avais toujours considéré cette matière assez mesquine, me plaignant qu’il s’agissait surtout d’interprétation subjective d’énoncés en langage naturel, jusqu’à ce que j’en enseigne un cours introductif à la suite d’un cours d’intégration (de Lebesgue), cela prenait enfin tout son sens (entre autre permettre toutes les nuances de gris entre le 0 et le 1) et justifiait notamment cette histoire de tribus.
En résumé cela donne quelque chose comme ça : pour permettre l’intégration d’une fonction au sens de Lebesgue, il suffit que *les conditions de régularité* qui permettent l’intégration au sens classique soient vérifiées en dehors d’ensembles qui seraient négligeables pour l’intégrale (toutes les théories d’intégration définissent l’intégrale comme limite de sommes finies d’aires, l’idée géniale de Lebesgue étant de discrétiser au niveau de l’ensemble des valeurs prises par la fonction à intégrer puisque ce sont les valeurs singulières qui peuvent éventuellement poser problème, et non le domaine d’intégration, cela date du tournant XIXième-XXième). Il faut alors trouver un moyen de mesurer le domaine d’intégration pour définir ce qui est négligeable de ce qui ne l’est pas, si les valeurs problématiques de la fonctions sont prises sur un ensemble négligeable ou pas. On en vient alors, pour travailler dans le cadre des réels, à généraliser la notion d’intervalle. C’est ce que l’on va faire en définissant l’ensemble des Boréliens : la tribu borélienne (d’Emile Borel 1898).
Les boréliens, ce sont tous les ensembles que l’on peut construire à partir des intervalles ouverts à l’aide d’opérations élémentaires : passage au complémentaire, union (et donc intersection par passage au complémentaire) de famille dénombrable. Ainsi à chaque borélien on peut associer sa mesure c’est à dire un nombre positif qui peut être nul ou infini et qui a la propriété de σ-additivité : pour toute famille dénombrable la mesure de l’union des éléments de cette famille est la somme des mesures. (la mesure de Lebesgue est tout simplement la taille de l’intervalle, la mesure d’un ensemble de point isolés est nulle, c’est par essence ce genre d’ensembles qui seront appelés négligéables)
Une tribu en général, c’est une classe définie sur un ensemble (en proba on parlera de l’univers) qui vérifie simplement les trois propriétés suivantes : elle n’est pas vide (elle contient l’ensemble vide ainsi que l’univers par la seconde propriété), elle est stable par passage au complémentaire, elle est stable par union dénombrable.

Donc pour ce qui est des probas dans le cadre le plus général. On se place dans un espace des états : univers des possibles, c’est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience aléatoire que l’on considère. Un évènement c’est une partie de l’univers, le résultat d’une expérience aléatoire. On définit alors la probabilité comme étant une application de la tribu des évènements définis sur l’univers à valeurs dans l’intervalle [0,1] telle que la probabilité de l’univers entier (c’est à dire la certitude) vaut 1 et pour deux évènements incompatibles (d’intersection nulle), la probabilité de l’union (l’un ou l’autre), est la somme de leurs probabilités respectives. Ainsi, la probabilité d’un évènement, c’est un nombre entre 0 et 1 qui indique le degré de vraisemblance a priori de cet évènement, on peut l’imaginer comme la limite de la fréquence de réalisation de cet évènement si on pouvait reproduire indéfiniment l’expérience.

Pour les étudiants que les considérations algébriques ne concernent pas vraiment, je pense que l’on peut simplement commencer par le cas discret fini en explicitant l’ensemble des parties de l’univers et mentionner le concept de tribu comme généralisation au cas non dénombrable. On voit en suivant cette démarche que le concept de tribu est le cadre absolument adapté à ce cas, puisque cela correspond exactement au passage des sommes à l’intégration.

This entry was posted on Tuesday, March 15th, 2011 at 10:57 am and is filed under mathschoses. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. Both comments and pings are currently closed.