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Je me place au degré -10 de la bretonnitude et cela n’empêche pas mon amour sincère de la crêpe, dont l’ultime recette, laissez-moi le clamer bien haut, lecteurs ici égarés, puisqu’il semblerait que le billet précédent ait terminé de me faire perdre tout semblant d’audience, a été publiée par Madame Dansmacuizine. Foin de beurre fondu ou de blancs montés à incorporer, simplicité, efficacité et satisfaction garantie grâce à un truc imparable : chauffer le lait fait gonfler l’amidon et évite l’obligation mortifère de laisser reposer la pâte. Que dis-je un truc imparable, il s’agit bien de deux trucs imparables ! Le second résidant dans l’énoncé même de la liste des ingrédients : 4 verres de lait, 3 oeufs, 2 verres de farine, 1 pincée de sel. La pâte semble ultra liquide, c’est normal, tout va bien se passer. En version sans gluten, j’utilise mi fécule de maïs, mi farine de riz, délicieux.
Et pour fêter tout cela, je m’adonne à l’art délicat de la photo culinaire.

En général, je crois savoir que l’on introduit le logarithme soit en le posant comme inverse de l’exponentielle, soit comme primitive de 1/x pour peu que la notion soit connue, puis on déroule ses propriétés. Quel dommage ! C’est se priver d’un joli frisson à peu de frais !

J’ai un souvenir des mathématiques scolaires absolument neutre, mais je me rappelle la grande illumination qui m’est tombée dessus au premier cours d’algèbre en première année de fac : un monde s’ouvrait à moi. Tout est dans ce petit exemple, je crois. À la lointaine époque où j’ai fréquenté le lycée, j’ai reçu les mathématiques comme une série d’outils, connectés en surface, mais à l’univers tellement décousu qu’il n’en avait que peu de substance. C’était passer à coté de toute la force, de tout le potentiel créatif qui y réside. Se dire simplement qu’on aimerait étudier les implications d’un énoncé comme “je décide d’appeler logarithme une fonction qui transforme le produit en somme”, c’est un tout autre paradigme qu’une description de l’outil et de ses fonctionnalités. Forcément, je retrouve mes dadas favoris, il s’agit peut-être exactement de reconnecter le sujet et l’objet.

(edit nov : j’ai retrouvé mes books de maths de terminale… et le chapître sur le logarithme commence par un TP plutôt pas mal fait sur l’étude de fonctions qui transforment le produit en somme… dont acte !)

On appelle logarithme une fonction qui transforme le produit en somme.
C’est tout. De là découle tout le reste.
Donc, on appelle logarithme une fonction l telle que l(x.y) = l(x) + l(y) (1), d’ailleurs c’est de là que vient le nom de logarithme : raison entre les nombres.
On pose z = y/x. de (1), on a l(z) = l(x) + l(z/x), soit l(z/x) = l(z) - l(x).
On pose x=y=1, de (1), on a l(1) = l(1) + l(1), d’où l(1) = 0.
De (1), on a aussi en posant x=y : l(x²) = 2 l(x).
On peut aussi par exemple établir sans fatigue : l(x.y.z) = l(x.y) + l(z) = l(x) + l(y) + l(z), ce qui nous donne, en posant x = x^1/3.x^1/3.x^1/3, l(x^1/3) = (1/3) l(x). De manière générale : l(x^m/n) = (m/n)l(x).
Puis, s’il existe un réel a tel que l(a)=1, alors on a l(a^x) = x, d’où il vient que l est la fonction inverse de la fonction exponentielle a^x, l est un logarithme de base a.

En ce qui concerne le lien avec l’aire sous l’hyperbole y = 1/x : soient a et b quelconques positifs, on peut se convaincre (quitte à faire explicitement le changement de variables dans l’intégrale), que par exemple, l’aire sous la courbe entre 1 et a est la même que celle entre b et a.b (on dilate par b dans une direction, on comprime de 1/b dans l’autre) donc Aire (1->a.b) = Aire(1->b) + Aire (b->ab) = Aire (1->b) + Aire(1->a). Soit en posant l(a) = Aire(1->a), on a bien l(a.b) = l(a) + l(b) : c’est bien un logarithme.
On peut ensuite poser e comme le nombre tel que Aire (1->e) = 1.

Faisons un petit tour de plus afin de recoller d’autres bouts : retrouver le développement en série entière de ln (1+x) et celui de e.
Tout d’abord, le développement de 1/(1+x) en série géométrique : pour x tel que |x|<1 on pose 1/(1+x) = 1+δ (2) où δ est le reste de l’approximation par 1. On a alors : 1 = 1 + δ + x + x.δ , soit en négligeant le terme x.δ, δ est approximé par -x. L’expression (2) peut alors se réecrire 1/(1+x) = 1 -x + δ (un nouveau δ à approximer), en répétant le procédé ci-dessus, on trouve δ proche de x², puis par récurrence, la série géométrique : 1 - x + x² - x³ + x⁴ - x⁵…. (Viète 1593). En intégrant cette série terme à terme, on obtient bien le développement de ln(1+x) au voisinage de 0.
Cela étant dit, il est possible de retrouver uniquement avec des considérations de surface la valeur de l’intégrale d’un monôme x^α pour α>0 entre 0 et un réel B : (Fermat 1636) on choisit un θ < 1 mais proche de 1.On va approximer l'aire sous la courbe x^α par la somme des aires des rectangles :
1er rectangle : θ.B -> B de hauteur B^α; d’aire (B - θ.B).B^α = B ( 1 - θ) B^α
2nd rectangle : θ².B -> θ.B de hauteur (θ.B)^α d’aire (θ.B - θ².B).(θ.B)^α = B ( 1 - θ) θ^α+1B^α;
3ième rectangle : θ³.B -> θ².B de hauteur (θ².B)^α; d’aire (θ².B - θ³.B).(θ².B)^α = B ( 1 - θ) θ^2α+2B^α; etc.
En additionnant tout, on obtient : B^α+1 ( 1 - θ) ( 1 + θ^α+1 + θ^{2 α+2} ….) soit la somme d’une série géométrique de raison θ^α+1, on a alors l’expression B^α+1 ( 1 - θ)/( 1 - θ^α+1) (*). Pour 1-θ = ε proche de 0, on a ε/(1 - (1-ε)^α+1) équivalent à 1/α+1 (en développant par le binôme de Newton (1-ε)^α+1 et éliminant les termes supérieurs au degré 1). Notre surface est alors en valeur approchée par le haut : B^α+1 / (α+1). On réitère le procédé en approximant par en dessous avec les rectangles de hauteur (θ.B), (θ².B) et on retombe sur la même expression, c’est donc une valeur exacte.
Ainsi, on calcule l’aire “sous” la série géométrique entre 0 et x, et on obtient bien le développement en série de ln (1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 ….. (Mercator 1668)
Pour terminer, on peut retourner vers e^x. Calculons ln(1+x/N)^N à l’aide de la série de Mercator : ln(1+x/N)^N = N . ln( 1+x/N) = N.(x/N -x²/2N …) qui tend vers x lorsque N tend vers ∞, or on définit justement e^x comme la limite ( 1+x/N)^N… (**)

(j’ai bien conscience que ces paragraphes nécessitent papier stylo)

Voilà, on a le logarithme néperien, logarithme naturel.

Tout ceci n’étant qu’une version édulcorée de ce que l’on peut trouver dans le super exquis et inépuisable “l’analyse au fil de l’histoire” de E. Hairer et G. Wanner, chez Springer. (un aperçu sur google books)
(franchement, je ne pensais pas que je serais encore capable à mon âge de m’émerveiller sur le logarithme)

* au cas où : retrouver la somme d’une série géométrique S_n= 1 + q + q² + … + qⁿ : on multiplie par (1-q) de chaque coté, les termes s’annulent 2 à 2 sauf le premier et le dernier : S_n ( 1- q ) = 1 - qⁿ⁺¹.

** Rappelons que le nombre d’Euler; e, est obtenu comme la limite quand N tend vers ∞ de ( 1+1/N)^N. Puis d’une part, en développant (1+x/N)^N par le binôme de Newton on a la série 1 + x + x²/2! + x³/3! … D’autre part, en posant M = x.N (avec x rationnel, on peut ne considérer que les N et M entiers), on a ( 1+x/N)^N = ( 1+1/M)^Mx soit pour M tendant vers ∞ e à la puissance x, e^x.

(à partir de mes commentaires à ce billet : http://alter1fo.com/lectures-pour-aout-19757 )

À propos de “éloge du carburateur“, Matthew B. Crawford, Editions La Découverte .
Globalement en accord avec l’ensemble des propos du livre, j’ai toutefois quelques commentaires. Tout d’abord, bien qu’il prétende uniquement vouloir promouvoir, contrairement aux idées reçues, la voie du travail manuel comme univers non seulement viable mais satisfaisant, j’ai eu le sentiment qu’il se refusait à considérer la possibilité d’obtenir le même genre d’accomplissement dans le travail intellectuel. Il démontre parfaitement que la plupart des professions intellectuelles se vident peu à peu de leur intérêt cognitif, victimes d’une rationnalisation identique à celle du travail à la chaîne, transformées en une succession de « tâches stupides » et déconnectées (les unes des autres, déconnectées aussi de tout l’univers socio-culturel qui entoure la production d’un bien ou d’un service) sous couvert de rationnalisation.. Donc pourquoi ne pas imaginer la possibilité de l’équivalent intellectuel de l’atelier du garagiste ? Alors qu’il défend en effet la non-séparation, il exclut quasi de fait les professions intellectuelles.

D’autre part, une bonne partie de son propos repose sur la notion de gratification. Ce qui m’étonne, c’est qu’hormis une vague référence – que j’ai trouvée d’ailleurs un poil condescendante – à un prédécesseur pourtant évident « Traité du Zen et de l’entretien des motocyclettes » (Pirsig 1974), avec lequel il partage aussi le fait d’avoir une traduction française peu enthousiasmante (pas aussi catastrophique heureusement), il ne se réfère pas (assez) explicitement (à mon goût) à l’idée de qualité, le mot même de qualité est soigneusement tu. Et c’est ce qui aurait mérité à mon sens un développement plus important.
Je pense que l’absence de gratification, dans les professions aussi bien manuelles qu’intellectuelles, correspond à une notion de qualité dévoyée. La qualité est devenue une notion normalisée selon des critères qui se veulent certainement objectifs : évaluation du produit fini, environnement de travail, avantages sociaux, etc. mais quid de la satisfaction intrinsèque à l’accomplissement d’un travail ?
Je crois Pirsig, - au moins dans un cadre professionnel - quand il énonce que “la Qualité est l’évènement qui permet de prendre conscience du sujet et de l’objet” (p258 Editions du Seuil, 1978). La Qualité comme la relation entre le sujet et l’objet.

Le point finalement essentiel auquel devrait mener la proto-analyse de Crawford, c’est la refondation des structures de travail. Ce qui apparait en filigrane de ces processus de rationnalisation des tâches, c’est la disparition du sujet, justement. Rationnaliser pour que les employés soient exactement interchangeables. C’est ça LE drame qu’il convient de démonter, quels que soient les métiers concernés. La question ouverte devient celle des structures (humaines) et organisations (des process) qui permettraient de ne pas en être victime, notamment au niveau de la production de masse.
D’ailleurs, l’atmosphère hautement hiérarchisée et basée entre autre sur la rétention d’information, telle qu’il la décrit dans un de ces garages de réparation de moto, ne me semble pas le modèle le plus enviable.

Cela dit c’est un livre à recommander tant il m’apparaît, avec surprise, que les positions qu’il véhicule ne sont pas si reconnues. J’aime beaucoup entre autre, l’idée, très bien formulée, que la capacité à agir (physiquement) sur notre environnement est fondamentale.
Aussi, un passage que j’ai trouvé vraiment étonnant se trouve dans les premiers chapîtres, lorsqu’il relate les débuts du fordisme et la difficulté de recruter des ouvriers acceptant d’exécuter un travail aussi rebutant ; il explique comment les programmes scolaires ont été adaptés pour former des travailleurs manuels en adéquation avec ce genre de tâches, puis comment le crédit s’est ouvert afin d’enchaîner ces ouvriers à leur emploi. Limpide. Et actuel.

Qui eût cru que le plus cool estival festival avait lieu le dernier week-end d’août dans le bout de mon Cotentin chéri ?
Chaudefess’ 2 .

dure-mère, c’était vraiment bien, et pourtant en général, j’ai une réaction de fermeture auditive immédiate à tout ce qui ressemble à un accordéon.

mention spéciale aussi aux punkoïdes cowbells de HeadWar pour avoir fait s’évaporer un peu de l’humidité ambiante. (oui l’endroit reste relativement humide et venté en dépit d’une météo à la clémence inattendue)
et puis c’est quoi cette histoire de renard, hein ? (derrière, c’est Motherfucking). Est-ce le même que celui avec lequel, l’année passée lors d’un festival nettement moins my cup of tea musicale mais néanmoins fort sympathique quelque part en rurale Bretagne, mon wisigoth d’alors 2 ans et demie a essayé de faire copain au coin d’un bosquet tandis que ses pauvres parents s’époumonaient pétris d’angoisse pas très loin de là ?
(toutes les photos, JD, clic pour voir en grand)